Enseguida, graficaremos una función en un intervalo [a,b] y se mostrará el área contenida entre su gráfica y el eje x en el intervalo dado. Observa la siguiente gráfica.
f(x)= x2 + 1 en el intervalo cerrado [1,5]
Igual que con el problema de la tangente, empezaremos por hacer aproximaciones.Aproximaremos el área bajo la curva con el área de ciertos rectángulos.
Observa las siguientes gráficas:
Como pudiste ver en las gráficas anteriores, con los primeros rectángulos estamos sobreestimando el valor del área y con los segundos rectángulos la estamos subestimando.
A continuación calcularemos aproximaciones cada vez mejores, tomando cada vez más y más rectángulos.
Observa las siguientes animaciones.
El valor exacto del área es:
136
Área =
aprox. igual
45.3333
3
Los resultados anteriores parecen indicar que conforme el númeron de rectángulos crece, (n--->), el valor del área de los rectángulos tanto por la izquierda como por la derecha se acercan a un mismo número. Vamos a cuantificar y a formalizar las ideas expuestas anteriormente.
Dada una función f(x)>0 en un intervalo [a,b], para encontrar el área bajo la curva procedemos como sigue:
Hacemos una partición (dividimos) del intervalo [a,b] en n-subintervalos iguales de longitud x=(b-a)/n. Esta será la longitud de la base de cada uno de los n rectángulos.
En cada subintervalo escogemos un valor especial de x para evaluar la función. A este valor lo denotamos como x* y entonces f(x*) es la altura del rectángulo en ese subintervalo.
Ahora sumamos las áreas de los n rectángulos. El área de los n rectángulos es entonces:
n
[ f(x*)(x)]
k=1
A la sumatoria anterior se le conoce como Sumatoria de Riemann.
Definimos el área bajo la curva como:
Límite de la sumatoria de Riemann cuando n tiende a Infinito.
Para ejemplificar lo anterior, ahora se calculará la suma de Riemann como función de n, el número de rectángulos. También se calculará el límite cuando n-->, cuyo valor es, por definición, el área bajo la curva.
f(x)= x2 + 1
5-1
4
x=
=
n
n
x0=
1
x1=
1 + x =
1+
4
n
x2=
1 + 2x =
1 + 2(
4
)
n
(...)
4
xk=
1 + kx =
1 + k(
)
n
Si escogemos el extremo derecho de los subíntervalos, tendríamos que
4k
xk* = xk = 1+
n
4k
1 + (1 +
4k
)2
f(xk*) =
f(
1 +
) =
n
n
[
4k
](4/n)
f(xk*) x =
1 +(1+
)2
n
Desarrollando la expresión anterior, nos queda:
8(17n2 + 18n + 4)
La suma de Riemann =
3n2
136
48
32
La suma de Riemann =
+
+
3
n
3n2
136
Area = Límite de la suma de Riemann =
3
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO.
El Teorema fundamental del Cálculo, como su nombre lo indica es un importante resultado que relaciona el Cálculo Diferencial con el Cálculo Integral. En este capítulo se estudiarán las bases que permiten diseñar técnicas para el cálculo de integrales.
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
AREA ESTRE UNA Y DOS CURVAS.
Para calcular el área encerrada entre dos curvas, bastaría con restar el área que queda por debajo de las dos, pero es más fácil restar las funciones y hacer la integral. Así, si f(x)≥g(x), el área encerrada entre f y g y entre las rectas x=a y x=b, se calcula:
Aquí, hay que representar las funciones para ver quien queda por encima y por debajo y ver los posibles puntos de corte de las funciones, para separar o no la integral en trozos.
Fíjate bien, que si hay dudas de quien está por encima y quién por abajo, basta con ponerle valor absoluto a la integral
Enseguida se calculará el área de la región entre dos curvas.
Dentro del intervalo (-2,2), las curvas: y=2(1-x2)yy=x2-1 se intersectan en x = -1, 1. f(x)=2(1 - x2) ; g(x)=x2-1 El área entre las curvas en cada subintervalo es: {4, 4, 4}Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es: 4 + 4 + 4 = 12
Dentro del intervalo (-1,1.5), las curvas: y = -x2/3+1yy = x2/3 se intersectan en x = 1. f(x)= -x2/3+1 ; g(x)=x2/3-1El área entre las curvas en cada subintervalo es: {1.6, 0.15867} Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es:1.6 + 0.15867 = 1.75867
APLICACIONES: EXEDENTE DEL CONSUMIDOR Y EL PRODUCTOR, VALOR, PRECENTE Y VALOR FUTURO.
En este capitulo vamos a abordar y estudiar el concepto de integral definida. Empezaremos planteando algunos ejemplos sencillos que surgen en las Ciencias Experimentales, y que servirán de motivacion.
Función cuya derivada es la función dada, es decir, la antiderivada de una función dada f(x) es una función F(x) tal que dF(x)/dx=f(x) para todas las x en el dominio de f(x).
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
Propiedades de la integral definida
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
Regla de Barrow
La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b.
Se representa por.
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
INTEGRAL CON CONDICIONES INICIALES.
Donde a,b,c=ctes.
La solución completa de una ecuación diferencial lineal (con coeficientes ctes.) se compone de dos sumandos:
1.Solución general (de la ec. homogénea):
Se obtiene resolviendo la ecuación cuando g(t) se hace cero, es decir cuando se anula la excitación del circuito (se considera únicamente la energía almacenada en los elementos reactivos). Esta solución se conoce como respuesta natural, propia o libre, fn(t).
2.Solución particular:
Depende del tipo de excitación del circuito. Esta solución se conoce como respuesta forzada, ff(t).
Solución completa = sol. general + sol. particular
Condiciones iniciales de los elementos
Para determinar las constantes de integración es necesario conocer el estado del circuito en un instante de tiempo determinado. En la práctica este instante se hace coincidir con la conexión o desconexión de los interruptores. Por conveniencia se toma t=0, de tal forma que t=0- representa el instante inmediatamente anterior a la conmutación y t=0+ el inmediato posterior.
El estado del circuito en t=0- se define con la tensión en bornes de capacidades e intensidades por las bobinas. Estas condiciones se conocen como condiciones iniciales.
Para evaluar las constantes de integración en t=0+ hay que tener en cuenta que variables son continuas en t=0 (es decir f(0-)=f(0+)).
Resistencia:
La tensión sigue instantáneamente las variaciones de la corriente.
Condensador:
La tensión no puede variar de forma instantánea (i(t)→∞), entonces vC(0-)=vC(0+)=vC(0).
En c.c., régimen permanente t=∞, C= circuito abierto.
Inductancia:
La corriente no puede variar de forma instantánea (v(t)→∞), entonces iL(0-)=iL(0+)= iL(0).
En c.c., régimen permanente t=∞, L= cortocircuito.
La integración definida, utiliza el teorema fundamental del cálculo, para resolver integrales de la forma:
Donde: a = Límite inferior y b = Límite superior.
A diferencia de la integración indefinida, en la integración definida se obtiene un resultado numérico, que se obtiene al integrar la expresión dada, evaluar los límites y hacer la sumatoria de los resultados obtenidos luego de la evaluación.
En integración definida se plantean integrales que - por lo general – se resuelven aplicando los métodos ya expuestos. Por esta razón, es conveniente que el lector haya estudiado - responsablemente - los cinco métodos anteriores, puesto que en la solución de los ejemplos de esta parte de la obra, no se incluye una explicación detallada de esos contenidos.
A continuación se presenta un conjunto de ejemplos, cuya función es mostrarle al lector, como se debe desarrollar el proceso de integración definida y como se usa el famoso teorema fundamental del cálculo.
---
INTEGRAL DE Xn
INTRGRAL DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCION DE X
Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).
Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:
F'(x) = f(x).
Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.
RESOLUCIÓN: utilizando la relación fundamental de la trigonometría esta integral se convierte en otra que es inmediata: 1 – sen2x = cos2x
2) , siendo “a” una constante
RESOLUCIÓN: esta es la integral de una función potencial y, por lo tanto, es inmediata.
3)
RESOLUCIÓN: esta es la integral la podemos separar en sumas y restas de funciones potenciales y, por lo tanto, es inmediata.
simplificando:
4)
RESOLUCIÓN: esta integral es inmediata como función potencial expresando la raíz como una potencia.
5)
RESOLUCIÓN: esta integral se puede separar en sumas y restas de funciones potenciales (expresando las raíces como potencias) y, por lo tanto, es inmediata.
operando, expresando las potencias como raíces y simplificándolas obtenemos:
6)
RESOLUCIÓN: esta integral se puede separar en sumas y restas de funciones potenciales (expresando las raíces como potencias) y, por lo tanto, es inmediata.
7)
RESOLUCIÓN: esta integral se puede separar en sumas y restas de funciones potenciales (expresando la raíz como potencia) y, por lo tanto, es inmediata.
operando, expresando las potencias como raíces y simplificándolas obtenemos:
REGLA DE LA POTENCIA.
Integrales de potencias
Ejemplos
INTEGRALES QUE INCLUYEN FUNCIONES EXPONENCIALES.
ESTAS SON LAS FORMULAS PRINCIPALES PARA RESOLVER LAS FUNCIONES EXPONENCIALES.
Integrales exponenciales
AQUI UNOS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES EXPONENCIALES:
2.
3.
4.
5.
INTEGRALES QUE INCLUYEN FUNCIONES LOGARÍTMICAS.
Integración de Funciones Logaritmo
Reglas para la integración de funciones logaritmo
Se usan las barras de valor absoluto ya que el dominio de una función logaritmo son los números reales positivos.
En particular,
= 2 ln (x) + c
= ln (x2) + c
En este ejemplo, no es necesario las barras de valor absoluto ya que x2 no puede ser negativo.
Ejemplos para discusión: Halla:
Ejercicio de práctica: Halla:
Ejercicios: Halla la integral:
Respuestas:
1) ln │x + 1│ + C
2) ln │x - 5│ + C
3) -½ ln │3 – 2x│ + C
INTEGRALES QUE INCLUYEN (1/U) du.
INTEGRALES POR PARTES.
El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales de productos.
Tenemos que derivaru e integrarv', por lo que será conveniente que la integral de v' sea inmediata.
Las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como u.
Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
7.- 8.-
9.-
10.-
11.-
12.-
APLICACIONES: DETERMINACIÓN DE FUNCIONES DE COSTOS, UTILIDADES, CONSUMO, AHORRO A PARTIR DE SUS MARGINALES. FUNCIONES DE COSTO.
FUNCIONES DE UTILIDADES.
DERERMINACION DE FUNCIONES CONSUMO Y AHORRO.
OBJETIVO DE LAS DERIVADAS.
Pueden ser de mucha utilidad pues con ayuda de estos ejercicios podemos demostrar las formas mas eficaces de poder hacer producir mas en una empresa y saber como manejar mejor el capital que se posee, asiendo mas simple la forma de trabajo de cada area.
), el valor del área de los rectángulos tanto por la izquierda como por la derecha se acercan a un mismo número. Vamos a cuantificar y a formalizar las ideas expuestas anteriormente. 
x=(b-a)/n. Esta será la longitud de la base de cada uno de los n rectángulos. 
.
.
L
L-1 
L-1 
L
L-1 
L-1 
L-1 
, 
L
L-1 
, 
L 
L-1 
L-1 
, 
, 
L
, 
y 
L-1
L-1
L-1
L-1
L-1 
, 
, 
, 
L-1
, siendo “a” una constante
Integración de Funciones Logaritmo
