martes, 4 de noviembre de 2014

UNIDAD 1 INTRODUCCIÓN AL CALCULO DE LOS VARIABLES.

FUNCIÓN EN DOS VARIABLES.

En general, estaremos interesados en representar una variable Z en función

de un variables. Sin embargo, la notación se complica bastante cuando n > 2.

Por este motivo, la exposición de los conceptos la vamos a hacer con n = 2.
Las ideas se podrían después extender a n > 2.
Definición.- Una función de dos variables, z = f(x, y), es el modelo
matemático que nos dice cu´al es el valor de la variable Z para cada posible
valor de las variables X e Y . •

Gráfica de funciones de dos variables

Existen varias maneras de visualizar una función de dos variables, en esta sección lo haremos mediante una superficie en el espacio tridimensional.

Definición  (gráfica de funciones de dos variables)

La gráfica de una función $ f :D \subseteq I\hspace{-0.1cm}R^2 \; \; \rightarrow \; \; I\hspace{-0.1cm}R$ es el conjunto de puntos $(x,y,z)$tales que $z = f(x, y)$ y $x \in D$. Es decir,
\begin{displaymath}Graf(f)=\{(x,y,f(x,y))\,\vert\, (x,y)\in D \}\end{displaymath}

Observación : La gráfica de una función de dos variables $z = f(x, y)$ puede interpretarse geométricamente como una superficie $S $ en el espacio de forma tal que su proyección sobre el plano $xy $ es $D$, el dominio de $f$.En consecuencia, a cada punto $(x, y)$ en$D$ le corresponde un punto $(x,y,z)$ en la superficie y, a la inversa, a cada punto $(x,y,z)$ en la superficie le corresponde un punto $(x, y)$ en $D$ (figura 1).


Figura 1.

Ejemplo 1
Trace la gráfica de la función $f(x,y)=x^2 + y^2 + 1$
Solución
La gráfica de esta tipo funciones es muy común y se conocen como paraboloides (figura 2).

Figura 2.

Observación : el paraboloide anterior $z = x^2 + y^2 + 1$ tiene su eje de simetría paralelo al eje $z$, es de esperar que un paraboloide como $y = x^2 + z^2 + 1$ tenga su eje de simetría  paralelo al eje $y$.



DERIVADAS PARCIALES

Si y = f(x) es una función de una variable. Su primera derivada
(1)
se interpreta como la razón de cambio instantanea de y con respecto de x.
Para una función z = f(x, y) de dos variables, se comprende que de manera analoga la razón con la que cambia al variar x y y (ya sea de manera individual o simultaneamente).
La razón de cambio de z con respecto de x, se obtiene dejando fija a y y calculando la derivada ordinaria de la función z = f(x, y)
(2)

Del mismo modo, la derivada parcial de f con respecto de y en el punto (a, b), se obtiene dejando fija a x y calculando la derivada ordinaria de la función z = f(x, y) donde x = a es constante se denota como
(3)
Algunas otras notaciones comunes para las derivadas parciales son:
(4)
Observemos que si eliminamos la variable y de la ecuación (2), tendriamos el límite de la ecuación (1). Esto significa que podemos calcular (2) como una derivada ordinaria con respecto de x, considerando ay como constante durante el proceso de derivación . De manera similar, podemos calcular (3) como una derivada ordinaria, tomando a y como la única variable y tratando a x como una constante durante el cálculo.
 Regla para hallar derivadas parciales de z = f(x, y)
Para hallar Dx, considere y como constante y derive f(x,y) con respecto ax
Para hallar Dy, considere x como constante y derive f(x,y) con respecto ay
Ejemplo 1. Si 
Solución Conservando y constante y derivando con respecto a x, obtenemos

Conservando a x constante y derivando con respecto a y, obtenemos
Ejemplo 2. Si 
Solución tenemos que la derivada de la función es de la forma d( f ) =d( U V )
Ejemplo 3. Si evalue la pendiente en dirección de x en el punto (0,2)
Solución tenemos que la derivada de la función es de la forma d( f ) =d( U / V )

DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN
Cuando diferenciamos dos veces una función, producimos sus derivadas de segundo orden. Estas derivadas son usualmente denotadas por

 Teorema de Euler, Teorema de Clairaut (Teorema de las derivadas cruzadas)
Si f(x,y) y sus derivadas parciales fxy, fyx están definidas en un disco D que contiene al punto (a,b) y son todas continuas en (a,b), entonces
fxy (a,b) = fyx (a,b)
Las derivadas parciales de orden mayor de 2 o de orden superior también se puden definir. Por ejemplo
y usando el Teorema de Euler o Clairaut se demuestra que fxyy = fyxy = fyyx si estas funciones son continuas.



MAXIMOS Y MINIMOS.
álculo de máximos y mínimos usando derivadas. De la derivada primera obtenemos el crecimiento y decrecimiento de una función y los posibles máximos y mínimos.

Derivadas máximos

Ejercicios resueltos


Función polinómica


Observa los pasos y las aplicaciones de las derivadas para calcular el crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos de una función polinómica.
Derivadas mínimos

Crecimiento y decrecimiento

derivadas máximos mínimos

Máximos y mínimos

Función racional


máximos y mínimos.
APLICACIONES: OPTIMIZACION DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES QUE REPRESENTEN GASTOS, INGRESOS O UTILIDAD.

El punto de equilibrio sirve para determinar el volumen mínimo de ventas que la empresa debe realizar para no perder, ni ganar.

En el punto de equilibrio de un negocio las ventas son iguales a los costos y los gastos, al aumentar el nivel de ventas se obtiene utilidad, y al bajar se produce pérdida.
Se deben clasificar los costos:
  • Costos fijos: Son los que causan en forma invariable con cualquier nivel de ventas.
  • Costos variables: Son los que se realizan proporcionalmente con el nivel de ventas de una empresa.
Fórmula para calcular el punto de equilibrio
Ventas en punto de equilibrio = Costos fijos X                     1                   
                                                                        1  -     Costos variables
                                                                                   Ventas
Ejemplo: En el año 200x, la empresa XYZ tuvo ingresos por concepto de ventas de $6.750.000, en el mismo periodo sus costos fijos fueron de $2.130.000 y los costos variables de $3.420.000
Ventas en punto de equilibrio = 2.130.000 X                     1                   
                                                                        1  -    3.420.000 
                                                                                 6.750.000
Ventas en punto de equilibrio = 2.130.000 X                     1                   
                                                                                  0.49

Ventas en punto de equilibrio = 4.346.938
El nivel de ventas para no ganar, ni perder es de $4.346.938, este es el punto de equilibrio para la empresa.
El costo fijo permanece invariable, independientemente del volumen de ventas, mientras que el costo variable está relacionado directamente con el volumen de ingresos o ventas. 
El porcentaje del costo variable en el punto de equilibrio está dado por la relación existente entre los costos variables y el nivel de ventas, así
Porcentaje de costo variable =    Costo variable    X 100
                                                    Ventas

Porcentaje de costo variable =    3.420.000    X 100 = 51%
                                                6.750.000
Los costos variables en el punto de equilibrio son $4.346.938 X 51% = $2.216.938
Comprobación del punto de equilibrio
Ventas                                                    4.346.938
(-) Costos variables                                  2.216.938  
= Utilidad Bruta en Ventas                        2.130.000
(-) Costos fijos                                        2.130.000   
= Utilidad neta                                                     0
Aplicación del punto de equilibrio
En  la práctica, el punto de equilibrio sirve para calcular el volumen de las ventas que debe realizar una empresa para obtener un porcentaje de utilidad determinado. La fórmula es la siguiente:
Ventas = Ventas en punto de equilibrio + Porcentaje de Utilidad deseado + % de Costo variable
Ejemplo: La XYZ empresa desea obtener una utilidad del 20% sobre el punto de equilibrio. Determinar el volumen de ventas necesario para obtener dicha utilidad. (Utilizando los datos de los ejemplos anteriores).
Ventas = Ventas en punto de equilibrio + Porcentaje de Utilidad deseado + % de Costo variable
Ventas = 4.346.938 + 20%(4.346.938) + 51%(4.346.938)
Ventas = 4.346.938 + 869.387 + 2.216.938
Ventas = 7.433.263
Aplicación
Ventas                                                        7.433.263
(-) Costos variables                                      3.790.964
= Utilidad Bruta en Ventas                            3.642.299
(-) Costos fijos                                            2.130.000
= Utilidad neta                                            1.512.299

RESUMEN

Las derivadas son muy útiles para el calculo de cualquier valor, en el caso de la Administración que esta muy relacionado para saber la valoración de las cifras altas y bajas de los ingresos y egreso de una empresa, así se hace la valoración de los insumos y capital que se posee en el establecimiento.
Con esta información cada persona sea estudiante, obrero o empresarial puede calcular sus gastos y de esta forma controlar mejor sus bienes.


BIBLIOGRAFIA
https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/horra/Matematicas-Apuntes/5-Funciones-Varias-Variables.pdf

http://quantum.ucting.udg.mx/~jtorres/calcocho.html

http://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-maximos-y-minimos.htm

http://www.gestiopolis.com/canales/financiera/articulos/no%2016/puntoequilibrio.htm
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