UNIDAD III INTEGRAL DEFINIDA.

AREA BAJO LA CURVA.

  Enseguida, graficaremos una función en un intervalo [a,b] y se mostrará el área contenida entre su gráfica y el eje x en el intervalo dado. Observa la siguiente gráfica.
 

f(x)= x² + 1
en el intervalo cerrado [1,5]

   Igual que con el problema de la tangente, empezaremos por hacer aproximaciones. Aproximaremos el área bajo la curva con el área de ciertos rectángulos.

    Observa las siguientes gráficas: 

    Como pudiste ver en las gráficas anteriores, con los primeros rectángulos estamos sobreestimando el valor del área y con los segundos rectángulos la estamos subestimando.

    A continuación calcularemos aproximaciones cada vez mejores, tomando cada vez más y más rectángulos.

    Observa las siguientes animaciones.
 

    El valor exacto del área es: 

	136
Área =		aprox. igual	45.3333
	3

Los resultados anteriores parecen indicar que conforme el número n de rectángulos crece, (n--->), el valor del área de los rectángulos tanto por la izquierda como por la derecha se acercan a un mismo número. Vamos a cuantificar y a formalizar las ideas expuestas anteriormente. 

Dada una función f(x)>0 en un intervalo [a,b], para encontrar el área bajo la curva procedemos como sigue:   Hacemos una partición (dividimos) del intervalo [a,b] en n-subintervalos iguales de longitud x=(b-a)/n. Esta será la longitud de la base de cada uno de los n rectángulos.  En cada subintervalo escogemos un valor especial de x para evaluar la función. A este valor lo denotamos como x* y entonces f(x*) es la altura del rectángulo en ese subintervalo.  Ahora sumamos las áreas de los n rectángulos. El área de los n rectángulos es entonces:  n [ f(x*)(x)] k=1        A la sumatoria anterior se le conoce como Sumatoria de Riemann.

Definimos el área bajo la curva como: Límite de la sumatoria de Riemann cuando n tiende a Infinito.

   Para ejemplificar lo anterior, ahora se calculará la suma de Riemann como función de n, el número de rectángulos. También se calculará el límite cuando n-->, cuyo valor es, por definición, el área bajo la curva. 

f(x)= x2 + 1   5-1  4   x=   =  n n     x0=  1 x1=  1 + x  =  1+  4  n x2=  1 + 2x = 1 + 2( 4 ) n (...) 4 xk= 1 + kx = 1 + k( ) n       Si escogemos el extremo derecho de los subíntervalos, tendríamos que     4k xk* = xk = 1+  n     4k 1 + (1 +  4k )2 f(xk*) =  f( 1 +  ) =  n n [ 4k ](4/n) f(xk*) x = 1 +(1+ )2 n Desarrollando la expresión anterior, nos queda:    8(17n2 + 18n + 4) La suma de Riemann =  3n2 136 48 32 La suma de Riemann =   +   +  3 n 3n2 136 Area = Límite de la suma de Riemann =  3   TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO. El Teorema fundamental del Cálculo, como su nombre lo indica es un importante resultado que relaciona el Cálculo Diferencial con el Cálculo Integral. En este capítulo se estudiarán las bases que permiten diseñar técnicas para el cálculo de integrales.  Enunciados Enunciados PROPIEDAD DE LA INTEGRAL DEFINIDA. 1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración. 2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero. 3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b]. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales· 5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. AREA ESTRE UNA Y DOS CURVAS. Para calcular el área encerrada entre dos curvas, bastaría con restar el área que queda por debajo de las dos, pero es más fácil restar las funciones y hacer la integral. Así, si f(x)≥g(x), el área encerrada entre f y g y entre las rectas x=a y x=b, se calcula: Aquí, hay que representar las funciones para ver quien queda por encima y por debajo y ver los posibles puntos de corte de las funciones, para separar o no la integral en trozos.  Fíjate bien, que si hay dudas de quien está por encima y quién por abajo, basta con ponerle valor absoluto a la integral Enseguida se calculará el área de la región entre dos curvas. Dentro del intervalo (-2,2), las curvas: y=2(1-x2) y y=x2-1  se intersectan en x = -1, 1.  f(x)=2(1 - x2) ; g(x)=x2-1  El área entre las curvas en cada subintervalo es: {4, 4, 4}Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es:  4 + 4 + 4 = 12 Dentro del intervalo (-1,1.5), las curvas:  y = -x2/3+1 y y = x2/3  se intersectan en x = 1.  f(x)= -x2/3+1 ; g(x)=x2/3-1El área entre las curvas en cada subintervalo es: {1.6, 0.15867}  Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es:1.6 + 0.15867 = 1.75867 APLICACIONES: EXEDENTE DEL CONSUMIDOR Y EL PRODUCTOR, VALOR, PRECENTE Y VALOR FUTURO. https://www.itu.int/ITU-D/finance/work-cost-tariffs/events/tariff-seminars/lima-09/pdf/Doc12-excendente-villalobos.pdf CONCLUSIÓN. En este capitulo vamos a abordar y estudiar el concepto de integral definida. Empezaremos planteando algunos ejemplos sencillos que surgen en las Ciencias Experimentales, y que servirán de motivacion. BIBLIOGRAFIA. http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.melilla/area_bajo_curva.htm http://ed21.webcindario.com/CalculoIntegral/teoremas_fundamentales_del_calculo.htm http://www.inetor.com/definidas/integrales_definidas.html http://www.ieszaframagon.com/matematicas/matematicas2/integral/61_rea_limitada_por_dos_curvas.html http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.melilla/area_entre_dosC.htm